В данном случае, если система подачи воды на душ будет работать, то только горячая. В смеситель нужно подавать и холодную воду, думаю, без эл. водонагревателя не обойтись. Сильно сомневаюсь в работе системы в вашем рисунке, нужно учесть и исключить много сопротивлений и длин участков труб.

Я так понимаю бак натрубный. Схема имеет право на существование. Байпас мимо насоса убрать, ибо бессмысленно. Линию возврат воды в бак задроселировать (диаметром или крантиком), чтобы давления на душ хватало. Подобрать насос гвс по расходу и напору Согласно ГОСТ 19681-94 п. 4.5, насос жужжать будет постоянно, или каждый раз включать-выключать

Байпас- чтобы душ работал без насоса через байпас, бак должен быть выше лейки. Сие маловероятно, посему бессмысленно, лишние сопротивления и удорожание проекта.
Дроссель - можете вообще исключить обратный трубопровод, в данном случае он служит для обеспечения постоянно горячей воды перед смесителем и перебултыхивает воду в баке. Если расстояние от бака до душа небольшое то вода в трубе шибко не остынет. Насос не сгорит, центробежный насос прекрасно работает в упор, вспомните школьный курс физики, мощность равна отношению работы на время. При работе в упор работа равна нулю, т. к. вода не перекачивается а стоит, соответственно насос на холостом ходу, сила тока минимальна. Самое страшное что может произойти при длительной работе в упор, вода в насосе закипит от междискового трения. Но учитывая то что мощность подводится к Эл. двигателю минимальна, а площадь поверхности улитки насоса для теплообмена с окружающей средой более чем достаточна, фантастический сценарий

Все отлично

Рафик довольно простым языком все объяснил, считаю тема закрыта